Barisan dan Deret

1. pengertian Barisan adalah suatu rangkaian bilangan yang tersusun menurut aturan atau pola tertentu.
Bentuk umum pada barisan :
U₁, u₂,u_3,…. u_n
U₁ = suku yang pertama
U₂ = suku yang kedua
U₃ = suku yang ketiga
U_n = suku yang ke-n
2. Deret
Bentuk umum pada deret:
S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ……. + u_n
S_n = Jumlah n suku yang pertama
B = Beda
Contoh soal:
Diketahui deret 2 + 4 + 6 + …..
Hitunglah jumlah lima suku yang pertama !
jawab :
b = u₂ - u₁ = 4 - 2 = 2
s₅ = 1²+ 2 + 4 + 6 + 8 = 21
1.   Barisan Aritmatika
Bentuk umum:
U₁, U₂, U₃,………. U_n
Rumus:
beda -> b = U_n - U_n-1
suku ke-n barisan aritmatika:
U_n = a+(n-1)b
U_n = Suku ke-n
a = Suku pertama = U₁
b = beda
Contoh soal:
1. Diketahui barisan 6, 9, 12,..
Tentukan: a. Beda
b. Suku ke 50
Jawab:
a.   b = U_n -U_n-1 =9-6 = 3
b.   S₅₀= a+(n-1)b
= 6+(50-1) 3
= 6+(49) 3
= 153
Jadi, suku ke-50 adalah 153.
2.   Diketahui barisan aritmatika dengan U = 2 dan U = 14.
Tentukan: a. Nilai suku pertama dan bedanya      b. Suku ke-25
Deret aritmatika
Bentuk umum:
U₁,u₂,u₃……u_n
Rumus:
Jumlah n suku pertama:
S_n = n/2 (a + U_n ) atau S_n = n/2 {2a + (n - 1)b atau U_n= S_n - S_{n - 1}
Contoh soal:
Hitunglah jumlah 50 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + …….
Jawab:
2 + 4 + 6 + 8 + …… U₅₀
a = 2, b = 2, n = 50
S_n = n/2 { 2a + (n - 1)b}
S₅₀ = 50/2 {2(2) + (50 - 1)2}
= 25 {4 + (49)2}
= 25 {4 + 98}
= 25 (102)
= 2550
2.   Barisan Geometri
Barisan bilangan U₁,U₂,U₃,…… U_n disebut dengan barisan geometri, apabila punya yang namanya rasio (r).
r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃= U_n/U_n-1
Contoh soal:

Tentukan rasio ke 8 dari barisan 2,4,8,16,…

Jawab:
a = 2
r = 4/2
= 2
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2 . 2^10-1
= 2 . 2⁹
= 2 . 512
= 1024
Deret geometri
Bentuk umum
U₁ + U₂ + U₃ +…… + U_n
a + ar + ar² +…….. + ar^n-1
Rumus jumlah n suku deret geometri:
S_n= a (1 - rⁿ)/1 - r jika r < 1
Dan
S_n = a (rⁿ - 1)/r - 1 jika r > 1
Contoh soal:
Hitunglah jumlah 8 suku dari deret 2 + 4 + 8 +…..
Jawab:
2 + 4 + 8 +….
a = 2
r = 2 berarti harus memakai yang r > 1
maka:
S_n = a (rⁿ - 1)/r-1
S₈= 2 ( 2⁸ - 1)/ 2-1

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

$a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!$

atau dalam representasi dekoratfinya

$\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!$

$\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!$

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :


	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

= 2 (255)
= 510

E. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER

1. Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.

a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.

Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).

Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >,

, dan

Contoh :

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari

a. x < 3 d. y > 2

b.x

2 e. y

-1

c. y > - 3

Jawab :

x = 3

1.a. x < 3

. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah

penyelesaian

Contoh 1 :

Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan

2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y

Jawab :

Langkah – langkah :

Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :

i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table

Jika x = 0 maka y = 6

Jika y = 0 maka x = 3

Tabel

x	0	3
y	6	0

ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah

daerah di sebelah kanan sumbu y.

iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah

daerah di atas sumbu x.

iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan

penylesaiannya :

v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )

memenuhi.

- - - + + +

Contoh 2 :

Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )

Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.

Contoh :

Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.

Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas

Misalkan : Paku jenis I = x dan

Paku jenis II = y

Tabel

Barang	Bahan A	Bahan B
Paku jenis I	200 gram	75 gram
Paku jenis II	150 gram	50 gram
Jumlah	5.500 gram	2.000 gram

Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500

75x + 50y ≤ 2.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y

Kita sederhanakan dulu persamaan diatas

200x + 150y ≤ 5.500

4x + 3y ≤ 110

75x + 50y ≤ 2.000

3x + 2y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

4x + 3y ≤ 110

x	0
y		0

3x + 2y ≤ 80

x	0
y	40	0

Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah

4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 220

3x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240

- x = -20

x = 20

untuk x = 20

3x + 2y = 80

3.20 + 2y = 80

2y = 80 – 60

y =

= 10 maka titik potong (20,10)

Gambar grafik fungsi penyelesaiannya

3x + 2y = 80

Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik

optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)

Nilai fungsi obyeknya adalah :

Untuk O(0,0)

z = 500.0 + 350.0 = 0

UntukA(80/3,0)

z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000

UntukB(20,10)

z = 500.20 + 350.10 = 13.500

UntukC(0,110/30

z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000

Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka

pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

C. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier.

D. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k

R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ;

3x +2y = k₂maka 3.0 + 2.5 = 10

3x +2y = k₂maka 3.5 + 2.0 = 15

Jadi nilai maksimum adalah 15

MATEMATIKA 6

Rabu, 02 November 2011